问题详情:
如图,C为∠AOB的边OA上一点,OC=6,N为边OB上异于点O的一动点,P是线段CN上一点,过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q,PM∥OB交OA于点M.
(1)若∠AOB=60º,OM=4,OQ=1,求*:CN⊥OB.
(2)当点N在边OB上运动时,四边形OMPQ始终保持为菱形.
①问:-的值是否发生变化?如果变化,求出其取值范围;如果不变,请说明理由.
②设菱形OMPQ的面积为S1,△NOC的面积为S2,求的取值范围.
【回答】
解:(1)过P作PE⊥OA于E,
∵PQ∥OA,PM∥OB,
∴四边形OMPQ为平行四边形,
∴PM=OQ=1,∠PME=∠AOB=60°,
∴PE=PM•sin60°=,ME=,
∴CE=OC﹣OM﹣ME=,
∴tan∠PCE==,
∴∠PCE=30°,
∴∠CPM=90°,
又∵PM∥OB,
∴∠CNO=∠CPM=90°,
则CN⊥OB;
(2)①﹣的值不发生变化,理由如下:
设OM=x,ON=y,
∵四边形OMPQ为菱形,
∴OQ=QP=OM=x,NQ=y﹣x,
∵PQ∥OA,
∴∠NQP=∠O,
又∵∠QNP=∠ONC,
∴△NQP∽△NOC,
∴=,即=,
∴6y﹣6x=xy.两边都除以6xy,得﹣=,即﹣=.
②过P作PE⊥OA于E,过N作NF⊥OA于F,
则S1=OM•PE,S2=OC•NF,
∴=.
∵PM∥OB,
∴∠PMC=∠O,
又∵∠PCM=∠NCO,
∴△CPM∽△CNO,
∴==,
∴==﹣(x﹣3)2+,
∵0<x<6,
则根据二次函数的图象可知,0<≤.
知识点:相似三角形
题型:综合题