如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作*线1⊥AB，分别...

问题详情：

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半径OB上一动点（不与O，B重合），过点P作*线1⊥AB，分别交弦BC，于D，E两点，在*线l上取点F，使FC＝FD．

（1）求*：FC是⊙O的切线；

（2）当点E是的中点时，

①若∠BAC＝60°，判断以O，B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；

②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．

【回答】

解：（1）*：连接OC，∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∵PF⊥AB，

∴∠BPD＝90°，

∴∠OBC+∠BDP＝90°，

∵FC＝FD

∴∠FCD＝∠FDC

∵∠FDC＝∠BDP

∴∠OCB+∠FCD＝90°

∴OC⊥FC

∴FC是⊙O的切线．

（2）如图2，连接OC，OE，BE，CE，

①以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．理由如下：

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，

∵点E是的中点，

∴∠BOE＝∠COE＝60°，

∵OB＝OE＝OC

∴△BOE，△OCE均为等边三角形，

∴OB＝BE＝CE＝OC

∴四边形BOCE是菱形；

②若tan∠ABC＝，且AB＝20，求DE的长．

∵＝tan∠ABC＝，设AC＝3k，BC＝4k（k＞0），

由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即（3k）2+（4k）2＝202，解得k＝4，

∴AC＝12，BC＝16，

∵点E是的中点，

∴OE⊥BC，BH＝CH＝8，

∴OE×BH＝OB×PE，即10×8＝10PE，解得：PE＝8，

由勾股定理得OP＝＝＝6，

∴BP＝OB﹣OP＝10﹣6＝4，

∵＝tan∠ABC＝，即DP＝BP＝＝3

∴DE＝PE﹣DP＝8﹣3＝5．

知识点：各地中考

题型：解答题