在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠...

问题详情：

在△ABC中，∠ACB=90°，经过点C的⊙O与斜边AB相切于点P．

（1）如图①，当点O在AC上时，试说明2∠ACP=∠B；

（2）如图②，AC=8，BC=6，当点O在△ABC外部时，求CP长的取值范围．

【回答】

【解答】解：（1）当点O在AC上时，OC为⊙O的半径，

∵BC⊥OC，且点C在⊙O上，

∴BC与⊙O相切．

∵⊙O与AB边相切于点P，

∴BC=BP，[来源:学科网]

∴∠BCP=∠BPC=，

∵∠ACP+∠BCP=90°，

∴∠ACP=90°﹣∠BCP=90°﹣=∠B．′

即2∠ACP=∠B；

（2）在△ABC中，∠ACB=90°，AB==10，

如图，当点O在CB上时，OC为⊙O的半径，

∵AC⊥OC，且点C在⊙O上，

∴AC与⊙O相切，

连接OP、AO，

∵⊙O与AB边相切于点P，

∴OP⊥AB，

设OC=x，则OP=x，OB=BC﹣OC=6﹣x，

∵AC=AP，

∴BP=AB﹣AP=10﹣8=2，

在△OPA中，∠OPA=90°，

根据勾股定理得：OP2+BP2=OB2，即x2+22=（6﹣x）2，

解得：x=，

在△ACO中，∠ACO=90°，AC2+OC2=AO2，

∴AO==．

∵AC=AP，OC=OP，

∴AO垂直平分CP，

∴根据面积法得：CP=2×=，则符合条件的CP长大于．

由题意可知，当点P与点A重合时，CP最长，

综上，当点O在△ABC外时，＜CP≤8．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题